Verzamelingenleer (najaar 2011)

Dit college geeft een inleiding in de (Axiomatische) Verzamelingenleer.

We beginnen met het maken van een inventaris van het verzamelingtheoretisch gereedschap dat de wiskundige in de dagelijkse praktijk gebruikt. Het al te vrij omgaan met het begrip `verzameling' leidt tot paradoxen. Om deze te omzeilen is in het begin van de 20ste eeuw een aantal --- in essentie gelijkwaardige --- axiomatiseringen van de verzamelingenleer opgesteld. We behandelen het meestgebruikte systeem, van Zermelo en Fraenkel, en laten zien hoe `de hele wiskunde' in de verzamelingenleer ingebed kan worden.

Administrivia

Tijd en plaats

Cijferregeling

Voor een soepele adminstratieve afhandeling van de cijfers wordt de Leidse studenten verzocht zich in te schrijven voorVerzamelingenleer (studiegidsnummer 4082VERZAT) op studieactiviteitnummer 12464. (De link zou nu moeten werken.)

Hier is een link naar mijn agenda; daar kun je zien wanneer ik wellicht in staat ben een mondeling af te nemen.

Colleges

Week 13

Enige onafhankelijkheidsbewijzen. Aan de hand van, onder meer, de verzamelingen $V_\omega$, $V_{\omega+\omega}$ en $H(\kappa)$ hebben we gezien hoe men aantoont dat bepaalde axioma's niet uit de andere zijn af te leiden.

Week 12

Machten van kardinaalgetallen. Het regulariteitsaxioma. De constructie van $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ en $\mathbb{R}$ binnen de verzamelingenleer.
Huiswerk: Opgaven 35--38, 42, 45, 54--56. NB De hint bij Opgave 56 is niet sterk genoeg; werk met de transitieve afsluiting van $x$ als gedefinieerd op pagina 49.
Hebben we de machtsverzamelingen nodig?
Een `eenvoudiger' bewijs van de welordeningsstelling?

Week 11

Kardinaalgetallen; optellen en vermenigvuldigen; het machtsverzamelingaxioms; Hartogs' $\aleph$-functie; de locale welordeningssstelling.
Hebben we de machtsverzamelingen nodig?
Een `eenvoudiger' bewijs van de welordeningsstelling?

Week 10

Ordinaalgetallen, het echte bewijs van Stelling 1.9, natuurlijke getallen, axioma's van Peano, Inductie en Recursie, kardinaalgetallen.
Huiswerk: Opgaven 8, 10, 16, 24, 25, 27, 29.

Week 9

De axioma's van Paarvorming, Vereniging en Vervanging. Afleiding van het bestaan van Cartesische producten en definities van de begrippen `relatie' en `functie'.

Week 8

De stelling van Goodstein; de eerste Axioma's van ZF.
Huiswerk: hoofdstuk 1: 71, 72, 76, 77; hoofdstuk 2: 4, 5 (NB 5c kan op strikt formele wijze maar dat is nogal een gedoe; een (correct) `bewijs met woorden' volstaat).

Week 7

Het eerste overaftelbare ordinaalgetal $\omega_1$; ordinaalrekenkunde en de Cantor-normaalvorm, $\varepsilon$-getallen.

Week 6

Het recursieprincipe, vergelijkbaarheid van welgeordende verzamelingen, ordinaalgetallen, kanonieke representaties
Een column over de recursieve rechtvaardiging van optelling en vermenigvuldiging van natuurlijke getallen.
Huiswerk: opgaven 27, 36 (schrijf het bewijs begrijpelijk op), 44, 45 en 50.
Inleveren: 20 oktober.

Week 5

Ordetypen en hun rekenkunde; welgeordende verzamelingen.

Week 4

Rekenen met kardinaalgetallen: sommen, producten, machten
Huiwerk: Hoofdstuk 0, opgave 26; Hoofdstuk 1, opgaven 10 (laat duidelijk zien hoe dit uit Stelling 1.2 volgt), 17, 19 (bewijs dat $f$ inderdaad bijectief is), 21 en 24.
Inleveren: 6 oktober

Week 3

Het diagonaalargument, de uniciteit van $\mathbb{Q}$, de invoering van kardinaalgetallen en de Cantor-Schroeder-Bernstein-stelling

Week 2

De derde paragraaf: Topologie en verzamelingenleer
Huiswerk: opgaven 3, 4, 5, 15, 16, 17, 22.
Inleveren: 22 september.

Week 1

De eerste twee paragrafen: Algebraïsche getallen en Intervallen, vlakken ....

Dictaat

• Op A4-formaat, om te printen of om op de PC te lezen.
• Op A5-formaat, en ook op A5-formaat met times-roman fonts, om in e-booklezers te gebruiken. (Experimenteel.)

Errata

Hoofdstuk 0

• Opgave 6: de $\mathbb{Q}$ moet een gewone $Q$ zijn en de $e_\nu$tjes moeten $\varepsilon_\nu$tjes zijn.
• Opgave 7: deze werkt alleen als we $0$ buiten beschouwing laten; de formule bepaalt een bijectie tussen $\lbrace1,2,3,\ldots\rbrace^2$ en $\lbrace1,2,3,\ldots\rbrace$

Hoofdstuk 1

• Pagina 17, definitie van de ordening op het product:
  1. $n_1 < _N n_2$
  2. $n_1 = n_2$ en $m_1 < _M m_2$
• Pagina 20, definitie van kanonieke welgeordende verzameling (regel 7): de `hoedjes' moeten van de $x$ en $y$ af.
• Pagina 24, opgave 74.
  • onderdeel b: $\beta<\alpha$ moet $\beta<\omega^\alpha$ zijn
  • onderdaal c: $\gamma<\alpha$ moet $\gamma<\omega^\xi$ zijn

Inhoudsopgave

Hoofdstuk 0: Cantor's verzamelingenleer.

Een overzicht van resultaten die in Cantor's werk te vinden zijn.

• De overaftelbaarheid van $\mathbb{R}$,
• de gelijkmachtigheid van $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}^n$,
• enige topologie(!) van $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}^n$,
• het Diagonaalargument en
• de uniciteit van $\mathbb{Q}$ als geordende verzameling (met daarin de kiem van het heen-en-weer-argument).

Hoofdstuk 1: Naïeve verzamelingenleer.

De theorie van de kardinaal- en ordinaalgetallen zonder vooralsnog acht te slaan op grondslagenkwesties.

• Kardinaalgetallen,
• Ordetypen,
• Welgeordende verzamelingen,
• Ordinaalgetallen
• Ordinaalaritmetiek; met een getaltheoretische toepassing.

Hoofdstuk 2: Axiomatische Verzamelingenleer.

Een axiomatische opbouw van der verzamelingenleer, aan de hand van de axioma's van Zermelo en Fraenkel.

Bijlage A: Kettingbreuken.

Net genoeg theorie van kettingbreuken om een bewijs uit Hoofdstuk 0 af te maken.

Bijlage B: Enige Logica.

Een korte beschrijving van de Mathematische Logica. af te maken.

On-line literatuur

Georg Cantor

1. Beweis, dass eine für jeden reellen Werth von x durch eine trigonometrische Reihe gegebene Function f(x) sich nur auf eine einzige Weise in dieser Form darstellen lässt
   Journal für die reine und angewandte Mathematik 72 (1870) 139--142.
   De titel zegt het al
2. Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen
   Mathematische Annalen 5 (1872) 123--132
   Een uitbreiding van de uniciteitsstelling voor trigonometrische reeksen, waarbij voor een `dunne' verzameling van punten afgezien wordt van convergentie van de reeks of van het nul zijn van de som.
3. Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen
   Crelles Journal für Mathematik 77 (1874) 258--262.
   Het bewijs dat $\mathbb{R}$ overaftelbeer is.
   Recensie in Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik
4. Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre
   Crelles Journal für Mathematik 84 (1878) 242--258.
   Een bewijs dat $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}^n$ gelijkmachtig zijn.
   Recensie in Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik
5. Ueber unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten
   Mathematische Annalen 15 (1879) 1--7.
6. Ueber unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten. Nr. 2 (Fortsetzung des Artikels in Bd. XV, pag. 1.)
   Mathematische Annalen 17 (1880) 355--358.
7. Ueber unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten. Nr. 3 (Fortsetzung des Artikels in Bd. XVII, pag. 355.)
   Mathematische Annalen 20 (1882) 113--121.
8. Ueber unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten. Nr. 4 (Fortsetzung des Artikels in Bd. XX, pag. 113.)
   Mathematische Annalen 21 (1883) 51--58.
9. Ueber unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten. Nr. 5 (Fortsetzung des Artikels in Bd. XXI, pag. 51.)
   Mathematische Annalen 21 (1883) 545--586.
10. Ueber unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten. Nr. 6 (Fortsetzung des Artikels in Bd. XXI, pag. 545.)
    Mathematische Annalen 23 (1884) 453--488.
11. De la puissance des ensembles parfaits de points
    Acta Mathematica 4 (1884) 381--392.
    Recensie in Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik
12. Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre
    Jahresbericht der Deutschen Mathematischen Vereinigung 1 (1890-91) 75--78.
    Het diagonaalargument.
    Recensie in Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik
13. Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (Erster Artikel)
    Mathematische Annalen 46 (1895) 481--512.
    Recensie in Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik
14. Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (Zweiter Artikel)
    Mathematische Annalen 49 (1897) 207--246.
    Recensie in Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik

Anderen

1. Richard Dedekind, Ähnliche (deutliche) Abbildung and ähnliche Systeme, 1887.7.11,
   Gesammelte mathematische Werke (1930), 447--449.
   Een bewijs van de stelling die aan Cantor, Schroeder en Bernstein toegeschreven wordt.
2. Adolf Abraham Fraenkel, Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre,
   Mathematische Annalen 86 (1922) 230--237.
   Invoering van Vervangingsaxioma (Ersetzungsaxiom).
3. Rueben L. Goodstein, On the restricted ordinal theorem,
   The Journal of Symbolic Logic 9 (1944) 33--41.
   Met de stelling van Goodstein.
4. Friedrich Hartogs, Über das Problem der Wohlordnung,
   Mathematische Annalen 76 (1915) 438--443.
   Hartogs' Aleph en een bewijs dat de universele vergelijkbaarheid van verzamelingen de Welordeningsstelling impliceert.
5. Gerhard Hessenberg Potenzen transfiniter Ordnungszahlen,
   Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 16 (1907) 130--137.
6. Philip E. B. Jourdain On the multiplication of Alephs,
   Mathematische Annalen, 65 (1908) 506--512
   Een bewijs van $\aleph_\gamma\cdot\aleph_\gamma=\aleph_\gamma$.
7. Julius König, Zum Kontinuumproblem,
   Mathematische Annalen 60 (1905) 177--180.
8. Bertrand Russell, On some difficulties in the theory of transfinite numbers and order types, Proceedings of the London Mathematical Society, 2nd series, 4 (1905) 29--53.
9. Henry John Stephen Smith, On the integration of discontinuous functions,
   Proceedings of the London Mathematical Society VI (1875) 140--153
   Onder meer constructies van nergens dichte verzamelingen met niet-Riemann-integreerbare karakteristieke functies.
10. Ernst Zermelo, Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann. (Aus einem an Herrn Hilbert gerichteten Briefe),
    Mathematische Annalen 59 (1904) 514--516.
11. Ernst Zermelo, Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung,
    Mathematische Annalen 65 (1908) 107--128.
12. Ernst Zermelo, Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I,
    Mathematische Annalen 65 (1908) 261--281.
    Een axiomatisering van de verzamelingenleer